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Vecchio 26-07-08, 02:43   #2
Erasmus
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Predefinito Re: domanda sulla propagazione degli errori in una funzione periodica

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rigel80 Visualizza il messaggio
allora, la domanda è questa:

ho una funzione y = cos(K/x)

immaginiamo i graficarla in funzione di X, viene fuori una funzione oscillante con il periodo dell'oscillazione che aumenta costantemente (da un'oscillazione a quella successiva) con X

ora poniamo che io in questo grafico XY conosco i valori di Y con precisione infinita mentre i valori di x sono caratterizzati da un'incertezza dx

a questo punto immaginate di prendere i punti di questa funzione e graficarli non più in funzione di x ma in funzione di 1/x, ovvero l'ascissa avrà come valori 1/x e non più x

come conseguenza di ciò avremo rappresentata nel grafico una semplicissima funzione coseno

la mia domanda è:

se io prendo il periodo di questa funzione coseno qual'è la sua incertezza in termini di dx?

okkio che sembra più semplice di quello che è veramente
Non so se ho ben capito cosa vuoi saper di preciso.

Dimmi se ho capito giusto.

Ho la funzione y =cos(k/x), dove k è un parametro costante e x è la variabile.
In coordinate cartesiane isomtriche (x, y) è l'equazione di un certo luogo che è la curva rappresentata dal grafico della funzione.
Se, nell'argomento k/x del coseno, al posto di essere al denominatore x fosse al numeratore, cioè se fosse y=cos(kx), la curva sarebbe una sinusoide [di pulsazione k, cioè di frequenza f = k/(2PI) e quindi di periodo T =2PI/k – aggiungo io!].
Invece, con x al denominatore ho una curva oscillante ma non periodica: al tendere di x a zero le oscillazioni si infittiscono e al crescere di x si rarefanno fino a che la curva, dopo l'ultimo volta che attraversa l'asse delle ascisse (per x = 2k/PI) da valori negativi a positivi, tende asintoticamente alla retta di equazione y =1.

[Vedi il grafico per k =PI(greco) nella figura allegata => cos(PI/x).PDF]

Ovviamente, se disegno il grafico non in scala naturale ma in scala dei reciproci riottengo la funzione sinusoidale (periodica) cos(kx)

Ora tu vuoi sapere qual è l'incertezza di un intervallo di ascissa tra due punti non consecutivi ma alterni di attraversamento della curva supponendo che x (di cui devi fare il reciproco) abbia una sua incertezza dx.

Ho capito giusto?

In generale se devi fare una trasformazuine del tipo x'=f(x), hai comunque dx' = df/dx * dx (dove con df/dx intendo la derivata di f(x) rispetto ad x).
Nel tuo caso, essendo x' = 1/x, avrai df/dx = –1/x^2 e quindi l'incertezza:
dx' = – dx/x^2.

Il segno "meno significa che se x è in eccesso, x' è in difetto (e vicevera).
Il denominatire x^2 sta a significare che l'incertezza assoluta di x' (a parità di incertezza asoluta di x al variare di x stesso) è tanto più grande quanto più piccolo è x stesso (e viceversa)


In effetti, supponi che X sia il valore nominale in un certo x e X+dx sia il valore estremo (per un errore che al massimo è dx, picccolo però rispetto ad X).
Allora al posto di 1/x hai 1/(X+dx) che, per dx minore di X, ti dà la serie convergente:
1/(X+dx) = (1/X)*1/(1+dx/X) = (1/X)*[1–(dx/X) + (dx/X)^2 – (dx/X)^3 + ...]

Se dx è molto piccolo rispetto ad X, puoi trascurare i termini dal secondo grado compreso in su:

1/(X + dx) = (1/X)*1/(1+dx/X) = circa (1/X)*[1–(dx/X))] = 1/X – dx/X^2.

[Per esempio, 1000/1001 = 1000/(1000 + 1)=1(1+0,001) vale circa 1– 0,001 = 0,999].

Vedi allora che se la variabile x è affetta dall'incertezza dx quando dovrebbe valere X, il reciproco 1/x, al posto valere il valore nominale 1/X è affetto dall'incertezza –dx/X^2

Osserva, però, che le incertezze relative (percentuali) sono le stesse (in valore assoluto; essendo di segno contrario sono in realtà una opposta dell'altra):

(–dx/X^2)/(1/X) = – dx/X.

Se per esempio conosci i numeri da "graficare" con 2 cifre esatte dopo la virgola, ossia hai una incertezza assoluta costante di un "più o meno mezzo centesimo di unità", nel grafico di cos(PI/x) hai una oscillazione completa tra x=1/6 = 0,1666... e x = 1/4 =0,250 [perché PI/(1/6) – PI/(1/4) = 6*PI – 4*PI = 2*PI]. Attorno a 0,25, per esempio, una incertezza assoluta 0,005 (mezzo centesimo) dà una incertezza relativa 2%.
L'incertezza assoluta del reciproco è 0,005/(0,25^2)=0,08, cioè 16 volte maggiore. Ma quella relativa è 0,08/(1/0,25) = 0,08/4 = 0,02 =2% (come prima).


Ciao, ciao.
Immagini allegate
Tipo di file: pdf cos(PI:x).pdf (17.0 KB, 4 visite)
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Erasmus
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Ultima modifica di Erasmus : 26-07-08 11:13.
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