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Vecchio 22-07-08, 03:11   #1
Erasmus
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Predefinito Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili.

Affinché un quadrilatero ABCD sia inscrivibile in un cerchio, occorre e basta che la somma di due angoli opposti sia uguale alla somma degli altri due.
[E siccome la somma dei 4 angoli interni è un angolo giro, occorre e basta che la somma di due angoli opposti sia un angolo piatto, (cioè che gli angoli opposti siano supplementari.]

Questo ci insegnano fin da ragazzini a scuola.
Ma non ci insegnano come si fa a trovare il raggio del cerchio circoscritto a partire dalla conoscenza della lunghezza dei quattro lati.

I 4 raggi per i vertici dividono (rispettivamente) gli angoli interni in due parti ed il quadrilatero in quattro triangoli isosceli.
Allora possiamo pensare che gli angoli in A, B, C e D siano del tipo:
<Angolo in A> = w + x;
<Angolo in B> = x + y;
<Angolo in C> = y + z;
<Angolo in D> = z + w;

x+y+z+w = Pi-greco

Se fosse noto il raggio r del cerchio circoscritto avremmo subito:

(*)
cos(x) = a/(2r);
cos(y) = b/(2r);
cos(z) = c/(2r);
cos(w) = d/(2r).

E se non è noto r?
Si potrebbe pensare di scrivere l'equazione che si ottiene da
sin (x+y+z+w) = sin(PI) = 0
esprimendo sin(x + y + z + w) tramite le (*)
Vi sonsiglio di provarci! Si cade in un labirinto!

Insomma: quant'è 'sto raggio del cerchio circoscritto ad un quadrulatero i lati a, b, c e d?
===============================================

Affinché un quadrilatero ABCD sia circoscrivibile ad un cerchio, occorre e basta che la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due.

Questo ci insegnano fin da ragazzini a scuola.
Ma non ci insegnano come si fa a trovare il raggio del cerchio inscritto.

I 4 punti di tangenza dividono (rispettivamente) i lati in due parti.
Allora possiamo pensare che i lati in AB, BC, CD e DA siano del tipo:
<Lato AB> = x + y;
<Lato BC> = y + z;
<Lato CD> = z + w;
<Lato DA> = w + x.

Qui, osservando che:
(**)
tan(A/2) = r/x;
tan(B/2) = r/y;
tan(C/2) = r/z;
tan(D/2) = r/w,

si potrà esprimere tan(A/2+B/2+C/2+D/2) = tan(PI) = 0 tramite le (**) per ottenere una equazione in r.

Coraggio: srtavolta il labirinto è ... modesto e se ne viene fuori bene con un po' di pazienza.

__________________
Erasmus
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Vecchio 22-07-08, 06:44   #2
ricci70
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Predefinito Re: Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili.

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Affinché un quadrilatero ABCD sia inscrivibile in un cerchio, occorre e basta che la somma di due angoli opposti sia uguale alla somma degli altri due.
[E siccome la somma dei 4 angoli interni è un angolo giro, occorre e basta che la somma di due angoli opposti sia un angolo piatto, (cioè che gli angoli opposti siano supplementari.]

Questo ci insegnano fin da ragazzini a scuola.
Ma non ci insegnano come si fa a trovare il raggio del cerchio circoscritto a partire dalla conoscenza della lunghezza dei quattro lati.

I 4 raggi per i vertici dividono (rispettivamente) gli angoli interni in due parti ed il quadrilatero in quattro triangoli isosceli.
Allora possiamo pensare che gli angoli in A, B, C e D siano del tipo:
<Angolo in A> = w + x;
<Angolo in B> = x + y;
<Angolo in C> = y + z;
<Angolo in D> = z + w;

x+y+z+w = Pi-greco

Se fosse noto il raggio r del cerchio circoscritto avremmo subito:

(*)
cos(x) = a/(2r);
cos(y) = b/(2r);
cos(z) = c/(2r);
cos(w) = d/(2r).

E se non è noto r?
Si potrebbe pensare di scrivere l'equazione che si ottiene da
sin (x+y+z+w) = sin(PI) = 0
esprimendo sin(x + y + z + w) tramite le (*)
Vi sonsiglio di provarci! Si cade in un labirinto!

Insomma: quant'è 'sto raggio del cerchio circoscritto ad un quadrulatero i lati a, b, c e d?
===============================================

Affinché un quadrilatero ABCD sia circoscrivibile ad un cerchio, occorre e basta che la somma di due lati opposti sia uguale alla somma degli altri due.

Questo ci insegnano fin da ragazzini a scuola.
Ma non ci insegnano come si fa a trovare il raggio del cerchio inscritto.

I 4 punti di tangenza dividono (rispettivamente) i lati in due parti.
Allora possiamo pensare che i lati in AB, BC, CD e DA siano del tipo:
<Lato AB> = x + y;
<Lato BC> = y + z;
<Lato CD> = z + w;
<Lato DA> = w + x.

Qui, osservando che:
(**)
tan(A/2) = r/x;
tan(B/2) = r/y;
tan(C/2) = r/z;
tan(D/2) = r/w,

si potrà esprimere tan(A/2+B/2+C/2+D/2) = tan(PI) = 0 tramite le (**) per ottenere una equazione in r.

Coraggio: srtavolta il labirinto è ... modesto e se ne viene fuori bene con un po' di pazienza.

Non so se il mio problema è riconducibile a questo, comunque me lo ero posto da tempo: dati 4 punti di coordinate qualsiasi Xi,Yi, trovare il cerchio con raggio più piccolo che li contenga tutti, ed ovviamente le coordinate del suo centro. E poi estendere il problema ad n punti.
Non sono riuscito a trovare una soluzione chiusa. Chi mi aiuta?
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Vecchio 22-07-08, 09:05   #3
Mizarino
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Predefinito Re: Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili.

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Non so se il mio problema è riconducibile a questo, comunque me lo ero posto da tempo: dati 4 punti di coordinate qualsiasi Xi,Yi, trovare il cerchio con raggio più piccolo che li contenga tutti, ed ovviamente le coordinate del suo centro. E poi estendere il problema ad n punti.
Non sono riuscito a trovare una soluzione chiusa. Chi mi aiuta?
Io proverei con una soluzione "aperta".
Dati N punti, andrei a cercare quale dei cerchi passanti per 3 di questi punti contiene tutti gli altri ...
P.S. ... e ha il raggio più piccolo.
Occorre provare N*(N-1)*(N-2)/6 cerchi ...
P.P.S.
Scusate, ho scritto delle cavolate ... come non detto.

Ultima modifica di Mizarino : 22-07-08 10:20.
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Vecchio 22-07-08, 10:02   #4
Mizarino
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Predefinito Re: Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili.

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Ma non ci insegnano come si fa a trovare il raggio del cerchio circoscritto a partire dalla conoscenza della lunghezza dei quattro lati.
Domanda: ma date le lunghezze dei 4 lati, esiste un solo quadrilatero i cui angoli soddisfino la necessaria proprietà oppure ne esiste più d'uno ?
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Vecchio 22-07-08, 15:54   #5
ricci70
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Predefinito Re: Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili.

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Io proverei con una soluzione "aperta".
Dati N punti, andrei a cercare quale dei cerchi passanti per 3 di questi punti contiene tutti gli altri ...
P.S. ... e ha il raggio più piccolo.
Occorre provare N*(N-1)*(N-2)/6 cerchi ...
P.P.S.
Scusate, ho scritto delle cavolate ... come non detto.
Caso particolare, se i 4 punti fossero allineati....
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Vecchio 22-07-08, 17:49   #6
Erasmus
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Predefinito Re: Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili.

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Domanda: ma date le lunghezze dei 4 lati, esiste un solo quadrilatero i cui angoli soddisfino la necessaria proprietà oppure ne esiste più d'uno ?
Non sta bene che ti risponda!
Il primo approccio ad ogni problema di matematica è euristico ... Le idee si chiariscono strada facendo.

Prova a cercare "il" raggio – nell'ipotesi, provvisoria che ce ne sia uno solo–.
Se arriverai a costruire un problena "equazionale" (!?!) che ammette una sola soluzione l'iptesi sarà confermata.
Se invece arriverai ad un problena "equazionale" indeterminato vorrà dire che le soluzioni sono infinite ...

===========
Ma no dai: quel che ho detto va bene se non si sa quasi niente dell'ambiente del problema.
In questo caso sappiamo già una cosa fondamentale: gli angoli opposti devono essere supplementari.
Pensa il quadrilatero piano e "articolato", ossia con ogni vertice che incerniera gli estremi di due lati consecutivi. Prendilo per due vertici opposti e tiralo/comprimilo alternativamente. Tiralo al massimo: sedue lati con secutivi non sono mezzo perimetro ti diventa un triangolo: un angolo (con vertice che non hai in mano) diventa piatto e l'opposto è "finito"; la loro somma è di più di un angolo piatto. Gli angoli dei vertici che hai tirato sono entrambi acuti: la loro somma è di meno di un angolo piatto. (La somma delle due somme è sempre un angolo giro).
Comprimilo: gli angoli dei vertici che hai in mano crescono, gli altri due calano. Compresso al massimo il quadrilatero, un angolo con vertice in mano diventa piatto: situazione come la precedente, ma con lo scambio delle coppie di angoli opposti.

Siccome ti muovi con continuità, la somma dgli angoli opposti varia (in modo monotòno) da un minimo minore di un angolo piatto ad un massimo maggiore di un angolo piatto. Esiste dunque una sola situazione in cui questa somma è un angolo piatto. Tale necessariamente è anche la somma dell'altra coppia. In questa sitiazione c'è il cerchio circoscritto. Che raggio ha? Necessariamente sarà una funzione r = F(a, b, c, d) delle lunghezze dei quattro lati.
Pensa il quadrilatero unione di due V. Scambiando tra loro due lati consecutivi è come girare una delle V attorno all'asse della diagonale – quella che trasforma la "V" in "Nabla" e la "V" capovolta in "Delta, per capirci – rispetto all'altra V. Ma gli angoli opposti non cambiano! Il cerchio circoscritto è rimasto lo stesso: E' quello circoscritto ad una sola delle V.
Vuol dire che puoi pernutare tra loro due delle variabili di F(a, b, c, d) ché non cambia niente!
Allora puoi ripetere a volontà lo scambio di due lati consecutivi qualsiasi ed r resta sempre quello!
Morale: l'espressione F(a, b, c, d) è "simmetrica" (nel senso che si dà, ad esempio, ai "sistemi simmetrici" di equazioni) nelle 4 variabili: ognuna delle 24 permutazioni lascia invariato il valore dell'espressione.
Per esempio, se l'espressione contenesse una somma in cui un addendo fosse abc, necessariamente quella somma sarebbe:
(abc + abd + acd + bcd) = abcd(1/d + 1/c + 1/b + 1/a).


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Ultima modifica di Erasmus : 23-07-08 09:09.
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Vecchio 23-07-08, 09:30   #7
Erasmus
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Predefinito Re: Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili.

Ieri ho scritto un altro"paper in cui ricavo il raggio r del cerchio circoscritto al quadrilatero "circoscrittibile" (cioè di angoli opposti supplementari) di lati lunghi a, b, c e d.
NB: permutando arbitrariamente i lati, il quadrilatero circoscrittibile canbia forma ma il cerchio circoscritto resta lo stesso. [Stesso centro, stesso raggio].

Allego il "paper come documento PDF contenuto dentro un file di tipo ZIP.
=> Cerchio circoscritto ad un quadrilatero

Ciao a tutti.
Files allegati
Tipo di file: zip Cerchio_circoscritto.zip (89.4 KB, 18 visite)
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Vecchio 23-07-08, 11:07   #8
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Predefinito Re: Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili.

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Scusate, ho scritto delle cavolate ... come non detto.
Anch'io «proverei con una soluzione "aperta"».
a) Prendo la retta r1 verticale per il punto più a sinistra. Diciamolo A1.
b) Cerco il punto A2 che ha l'anomalia minima rispetto a questa retta con polo A1.
c) Giro la ratta di questa anomalia fin che si appoggia anche ad A2.
d) Duplico la retta r1 in r2 pensata incernierata in A2. La giro come prima fino a farla passare per un terzo punto A3 ad anomalia minima rispetto ad r2 con polo in A2.
[Ora tutti i punti stanno nell'angolo di vertice A2 e lati A1A2 e A2A3]
e) Continuo, (cercando il prossimo (k+1)-esimo punto cui appoggiare la k-esima retta che già passa per il k-esimo punto.
[ Dopo un numero finito di passi ricasco nella retta r1 per A1 e A2. Ho definito i vertici di un poligono convesso che contiene tutti i punti. Non ho risolto il problema: ma ho sfoltito l'insieme di N punti considerando tutti e soli quelli che contano. Sia V (come vertici) il numero dei punti "periferici" A1, A2, ..., Av. Il problema è ora trovare il cechio di raggio minimo che contiene i V punti, ossia il poligono convesso]

(mumble ... mumble ...)

Supponiamo di avere solo tre punti: un triangolo,
Se un angolo è ottuso il cerchio di raggio minimo è quello che ha gli estremi del lato più lungo per diametro. Se il triangolo è acutangolo il cerchio di raggio minimo è il cerchio circoscritto. Se è rettangolo ... i due detti cerchi coincidono.

Questo discorso ... forse non serve a niente.
Mi serviva per stabilire che nessuno dei due criteri (cerchi circoscritti a tre punti o cerchi con diametro tra due punti) è sicuro.

(mumble mumble)

Materializziamo il perimetro del poligono convesso di "ingonbro" dei nostri N punti come ... un filo pesante. E lasciamolo depositarsi in una grande sfera. Se tocca con due soli punti resta girevole. Allora prendiamo il piano per i due punti perpendicolare all'asse del segmento che li ha per estremi (cioè perpendicolare al raggio della sfera per il punto medio di essi), seghiamo la sfera con quel piano e il cerchio che otteniamo è quello di raggio minimo.
Se il "filo-perimetro" tocca con più di due punti (di solito tre, e di più di tre solo in casi particolarissimi), allora individua il piano con cui tagliare la sfera per avere il cerchio di raggio minimo.

Adesso ... bisogna "matematizzare" la faccenda del "perimetro" del poligono di ingombro dei nostri punti adagiato nel fondo della grande sfera.

Credo che bisognerà cercare la massima semi-distanza tra due punti (raggio del cerchio circoscritto ad un segmento , V(V–1)/2 coppie da testare) e il massimo dei raggi circoscritti a triangoli, – V(V–1)(V–2)/6 terne da testare –.
Poi sii scegliere il più grande dei due.

Mizarino: cosa ne dici tu?

Ciao, ciao
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Vecchio 23-07-08, 15:55   #9
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Predefinito Re: Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili.




Ecco la mia soluzione grafica con riga e compasso del quadrilatero inscritto
nino280 non in linea   Rispondi citando
Vecchio 23-07-08, 20:07   #10
nino280
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Predefinito Re: Quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili.

Dai,non prendetemi sul serio ,questa soluzione (vedi sopra) è di questo signore qua:



Nino
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