Un po' di calcoli ... un po' di logica....

[nino280]

Visto che avevo fatto il 13 e di passaggio il 15 faccio che fare anche il 14. Ma qui si parla delle lunule di Ippocrate, roba diciamo abbastanza vecchia trita e ritrita anche qui da noi.
Vado a prendere il disegno;

https://i.postimg.cc/4N0zx9Vb/Lunule.png



d1 mi è sfuggito ma è soltanto l'indicazione della semicirconferenza grande
Ciao

[nino280]

https://i.postimg.cc/Hn3p65ZL/Lunule.png



Rimetto il disegno di ieri ma con qualche aggiunta significativa che chiarisce quei numeri che ho scritto, altrimenti sembra che quei numeri mi sono piovuti dal cielo, e la dimostrazione che ho tentato di fare è una dimostrazione "gutturale" nel senso che la metà mi è rimasta in gola.
Il disegno nuovo già dice tutto, però due paroline le spendo
ugualmente.
Il triangolo di partenza è sempre il solito pitagorico 3 4 5
K è medio di AB cioè di 5
Unisco C con K, e quello che ottengo sono due triangoli di Area 3
Il più delle volte marco nel disegno stesso il valore come in questo caso l'area 3 marcata dentro il triangolo stesso.
Ora posso andare anche veloce.
Calcolo l'area del settore circolare e poi tolgo tre del triangolo per trovare l'area dell'arco circolare quello che ha corda CB
Dall'area della semicirconferenza sempre CB sottraggo il valore dell'arco di prima e trovo l'area della lunula.
Ciao

[nino280]

https://i.postimg.cc/G2Jyw95Z/Settori.png



Qualcuno potrebbe chiedermi: come calcoli le aree dei settori circolari?
Io gli rispondo: non le calcolo
Prendiamo ad esempio proprio il caso in questione che io ho esaminato nei giorni precedenti.
Disegno una circonferenza Diametro 5
Avrei potuto adoperare sempre lo stesso disegno base, ma ne faccio uno nuovo, perché a volte perdo più tempo a nascondere le cose che non voglio far vedere che a farne appunto uno nuovo.
E allora ritracciato i lati del triangolo 3 4 5 vado nell' applicazione (di GeoGebra naturalmente) e devo soltanto cliccare tre punti.
Allora se clicco nell'ordine K B C , mi restituisce il settore "ottuso" per intenderci quello colorato in fucsia o rosa, compreso anche la sua Area. Viceversa se clicco K C B mi restituisce il settore in verde che poi era quello che a noi serviva. Bene idem per l'altro settore dell'altro cateto quello che aveva lato 3 ma lascio stare tanto è soltanto la ripetizione di quello per il cateto da 4
Ma questo è chiaro che lo faccio per tagliar corto.
E Aspesi come farebbe?
Aspesi farebbe così:
calcola l'area della circonferenza tutta che dovrebbe essere 19,63495408 cosi quadrati.
Dico dovrebbe perché dei calcoli che faccio io e non Geo mi fido molto meno e questo l'ho fatto io.
Calcolo l'angolo lì in K (non lo trascrivo tanto è scritto lì)
Divido 360° per quell' angolo Alfa e ottengo 3,3879100
Poi divido ancora 19,63495408 per 3,3879100 e ottengo 5,79559 che come si vede è inferiore di un centomillesimo del calcolo di Geo.
Ciao

[aspesi]

Problema pratico attuale.

Si dispone di una bottiglietta vuota da mezzo litro e di una bilancia.
Si vuole riempire la bottiglietta con una soluzione alcolica al 70% (volumetrico), e il complemento a 100% con acqua, per scopi domestici di igiene sanitaria.

Si deve utilizzare alcol etilico commerciale al 95% (volumetrico) (il complemento a 100% si consideri acqua).

Quanti grammi di questo alcool commerciale e quanti grammi di acqua devono essere inseriti nella bottiglia?
(Densità acqua 1 g/ml, densità alcol 95% 0,79 g/ml, densità alcol 70% 0,89 g/ml)

[Mizarino]

La risposta appropriata dipende dallo spirito (visto che si parla di alcool ) della domanda:

Se lo scopo è pratico allora conta veramente poco se alla fine il contenuto di alcool è il 68%, il 70% o il 72%.

In questo caso uno se ne frega delle densità (a parte quella dell'acqua) e considera i volumi additivi.

Detti X i grammi di acqua da pesare, pari al volume in mL, abbiamo:

0.95*(500-X) = 0.70*500 (conservazione della quantità di alcool dopo diluizione).

da cui X = 125 mL => 125 g di acqua da pesare.

Si versano i 125 mL di acqua nella bottiglietta da mezzo litro e si porta a volume con l'alcool a 95°.

P.S. Dove lo trovi l'alcool a 95° ? Io da anni al supermercato trovo solo l'alcool denaturato a 90°

[aspesi]

Mizarino

P.S. Dove lo trovi l'alcool a 95° ? Io da anni al supermercato trovo solo l'alcool denaturato a 90°

E' un problemino apparso su un forum di matematica, cui ho risposto così:

Il calcolo preciso dovrebbe tenere conto del fatto che la diluizione dell'alcol etilico comporta contrazione di volume e aumento della temperatura. Ai fini pratici si può utilizzare la formula approssimativa V_alcol da diluire con acqua= V_richiesto*%_richiesta/%_dell'alcol di partenza (95%). Nel caso prospettato V=500*70/95 = 368,4 ml 95% cui va aggiunta acqua fino a mezzo litro per ottenere l'alcol al 70%. Non disponendo di un cilindro graduato, i 368,4 ml di alcol 95% corrispondono a 291 gr (densità=0,79 g/ml), per cui sarà necessario aggiungere 154 g di acqua (considerando che la densità della soluzione di alcol 70% è 0,89 g/ml)

[Erasmus]

aspesi

E' un problemino apparso su un forum di matematica [...]
[...]
alcol di partenza (95%) [...] densità=0,79 g/ml [...]
[...] alcol 70%, [densità] 0,89 g/ml

Ero sicuro di aver risposto già ieri. Ma non vedo la mia risposta, Come altre volte può essere successo di aver confuso l'invio di un'anteprima con quello della risposta definitiva.

Dato che è famosa la mia pignoleria :
a) E' dal 1979 cche il simbolo del "litro" non è più l "elle" minuscola) bensì L ("elle" maiuscola).
b) Le due densità – 0,89 dell'alcool al 95% e 0,89 dell'alcool al 70% – non vanno d'accordo!
Trascurando le eventuali diversità dei volumi occupati dal medesimo numero di molecole di alcool in soluzioni a diversa concentrazione (ossia con diverso numero di molecole di acqua), proviamo a dare per buona la densità 0,79 dell'alcool al 95%. La massa di un litro di tale soluzione è 790 g e di questa 50 g so di acqua. Quindi la massa dell'alcool è 750 e se ci fosse alcool 100% questo avrebbe densità
740/950 g/mL.
In una litro di soluzione a concentrazione [volumetrica] 70% ci sono 200 g di aqua e alcool occupante 700 L, cioè di massa:
700·740/950 g ≈ 545,26 g
La densità di tale soluzione sarebbe dunque
(300 + 545,26)/1000 g/mL ≈ 0,845 g/mL
Se invece si dà per buona la densità 0,89 g/mL dell'alcool al 70%, quella dell'alcool al 95% dobrebbe essere
[(890 – 300)/700].(950/1000) g/mL ≈ 80,07%.
––––––––––––––––
Comunque: sia D(95) la densità dell'alcool al 95% e sia D(70) la densità dell'alcool al 70%
Se conoscessi il volume V di soluzione al 95% inella bottiglia di capacità 500 mL n modo che il restante volume 500 mL – V occupato da acqua la diluisca portandola al 70%, metterei nella bottiglia
D(95)·V g
di alcool al 95° e la riempirei poi con acqua (che ha densità 1 g/mL).
Mi pare che vada bene il seguente sistema lineare
V(acqua) + V = 500 mL;
D(acqua)·V(acqua) + D(95)·V = D(70)·500 g
Eliminando V(acqua) – cosa facilissima dato che D(acqua) = 1 g/mL – ho l'equazione
V [1 – D(95)] = 500·/[1 – D(70) ––> V = {[1 – D(70)]/[1 – D(95)]}·500 mL
e quindi dovrei mettere dapprima nella bottiglia
D(95)·{[1 – D(70)]/[1 – D(95)]}·500 g
di alcool al 95% (e poi riempirla con acqua).Con i dati d
------------
Con i dati del quiz il numero di grammi di alcool al 95% da mettere dapprima nella bottiglia vale:
0,79·0,11/0,21*500 ≈ 207 g (che occuperanno circa 262 mL)
––––

[Erasmus]

Devo aver commesso qualche ... "errore di sbaglio" (o forse, purtroppo, anche concettuale) dato che 95% è molto prossimo al 100/% ... che porterebbe a 150 g esatti di acqua.
Ma forse, la colpa del risultato sballato è dovuta al fatto di avere da adoperare due dati "incompatibili" (da non potersi prendere entrambi per buoni).

Ragionando "a spanne", i circa 350 mL di alcool al 95% contengono già circa il 5% di acqua (circa 17 g) e quindi i mL di acqua da aggiungere al volume di soluzione al 95% sono un po' meno di 150 (facciamo circa 135 ... o anche meno). Sensibilmente meno dei 154 mL di aspesi – risultato forse alterato dalla detta incxompatibilità dei dati –.
––––––––

[aspesi]

Erasmus

b) SLe due densità – 0,89 dell'alcool al 95% e 0,89 dell'alcool al 70% – non vanno d'accordo!
Trascurando le eventuali diversità dei volumi occupati dal medesimo numero di molecole di alcool in soluzioni a diversa concentrazione (ossia con diverso numero di molecole di acqua), proviamo a dare per buona la densità 0,79 dell'alcool al 95%. La massa di un litro di tale soluzione è 790 g e di questa 50 g so di acqua. Quindi la massa dell'alcool è 750 e se ci fosse alcool 100% questo avrebbe densità
740/950 g/mL.
In una litro di soluzione a concentrazione [volumetrica] 70% ci sono 200 g di aqua e alcool occupante 700 L, cioè di massa:
700·740/950 g ≈ 545,26 g
La densità di tale soluzione sarebbe dunque
(300 + 545,26)/1000 g/mL ≈ 0,845 g/mL
Se invece si dà per buona la densità 0,89 g/mL dell'alcool al 70%, quella dell'alcool al 95% dobrebbe essere
[(890 – 300)/700].(950/1000) g/mL ≈ 80,07%.
––––––––––––––––
Comunque: sia D(95) la densità dell'alcool al 95% e sia D(70) la densità dell'alcool al 70%
Se conoscessi il volume V di soluzione al 95% inella bottiglia di capacità 500 mL n modo che il restante volume 500 mL – V occupato da acqua la diluisca portandola al 70%, metterei nella bottiglia
D(95)·V g
di alcool al 95° e la riempirei poi con acqua (che ha densità 1 g/mL).
Mi pare che vada bene il seguente sistema lineare
V(acqua) + V = 500 mL;
D(acqua)·V(acqua) + D(95)·V = D(70)·500 g
Eliminando V(acqua) – cosa facilissima dato che D(acqua) = 1 g/mL – ho l'equazione
V [1 – D(95)] = 500·/[1 – D(70) ––> V = {[1 – D(70)]/[1 – D(95)]}·500 mL
e quindi dovrei mettere dapprima nella bottiglia
D(95)·{[1 – D(70)]/[1 – D(95)]}·500 g
di alcool al 95% (e poi riempirla con acqua).Con i dati d
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Con i dati del quiz il numero di grammi di alcool al 95% da mettere dapprima nella bottiglia vale:
0,79·0,11/0,21*500 ≈ 207 g (che occuperanno circa 262 mL)
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Sono stanchissimo perché sono tornato adesso dall'escursione alla cresta sopra il bivacco Gastaldi (pensavo di non farcela, 1100 m di dislivello in 3 ore e mezza di salita...) e quindi per adesso ti dico solo che sbagli sia per quanto riguarda il calcolo delle densità delle soluzioni alcoliche, sia per la quantità in peso di alcool 95% da mettere nella bottiglia.
Magari domani...

[Erasmus]

aspesi

S [...] sono tornato adesso dall'escursione alla cresta sopra il bivacco Gastaldi (pensavo di non farcela, 1100 m di dislivello in 3 ore e mezza di salita...)

Te beato! Puoi ancora andare in montagna mentre io ... probabilmente non ci andrà mai più!
Vorrei – prima di morire o, comunque, di essere davvero non più in grado di farcela – fare il cosiddetto "sentiero del Cristo pensante" che parte da San Martino di Castrozza e raggiunge facilmente (in qualche ora di cammino senza troppo dislivello né particolari rampe o altre difficoltà) un rifugio presso il quale sta appunto una bella e grande statua rappresentante un personaggio in meditazione, battezzata appunto "Cristo pensante". Puoi trovare buone descrizioni di ciò in rete.
Due dei miei tre figli (e ora anche la mia prima nipotina, che avrà 20 anni tra un paio di mesi) mi dicono: «Certo! Troveremo l'occasione di portartici mentre quacun altro baderà alla mamma –nonna per la nipotina! –al tuo posto». Ma se già non è successo l'anno scorso, ormai la probabilità che succeda è ... "infinitesima"!
Amen!
"Non tutte le ciambelle riescono col buco!"
Non sono mai stato sul Monte Bianco, ma sono stato sul Monte Rosa e molte altre volte sui tre-mila metri. Ed ho meravigliosi ricordi – sia estivi che invernali – della Val d'Aosta. C'è molta gente che non è mai stata più in alto dei due-mila metri.
E' triste non poter fare quel che si desidera e si è [fisicamente] ancora in grado di fare nonostante l'età e nonostante tutto il resto!
Ma se ci si guarda in giro ... si scopre che la "valle di lacrime" è stata più lagrimosa (e avara) con altri.
Non sempre il sentimento va d'accordo con la ragione!
Amen!
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