Un po' di calcoli ... un po' di logica....

[astromauh]

nino280

E sappiamo da sempre che le perpendicolari a due o tre corde

Due o tre?

Comunque bravissimo, io mi sono messo a fissare il disegno senza venirne a capo.

[nino280]

astromauh

Due o tre?

Comunque bravissimo, io mi sono messo a fissare il disegno senza venirne a capo.

Be è quello che si fa normalmente per trovare il circocentro di un triangolo qualsiasi che ha evidentemente 3 corde dal cerchio che lo circoscrive, ma se fai l'operazione (grafica) è sufficiente farlo per 2 corde, perché per forza di cose la terza perpendicolare deve necessariamente andare ad intersecare dove già si intersecano le prime 2 e quindi se vogliamo è inutile farlo per 3.
Ciao

[nino280]

https://ibb.co/GpdZJ2L



Se io continuo ad interrogare il disegno si notano altre cose che sulle prime non si vedevano.
Ad esempio se chiudo verso sinistra quello che prima era il segmento radice di 5 cioè il segmento 2,23607, ad incontrare ora il segmento corda da 5 riottengo di nuovo il valore radice di 5
Ho fatto malissimo a non mettere le lettere sul disegno, perché ora faccio fatica a fare segnalazioni ed esprimermi.
Ancora, vedete il centro della circonferenza? Se traccio una retta da li fino ad A questa retta divide Alfa esattamente a metà.
Ciao
E ho trovato anche il segmento da 1 che diceva Aspesi.

[astromauh]

nino280

Be è quello che si fa normalmente per trovare il circocentro di un triangolo qualsiasi che ha evidentemente 3 corde dal cerchio che lo circoscrive, ma se fai l'operazione (grafica) è sufficiente farlo per 2 corde, perché per forza di cose la terza perpendicolare deve necessariamente andare ad intersecare dove già si intersecano le prime 2 e quindi se vogliamo è inutile farlo per 3.
Ciao

Guarda che lo sapevo, perché, triangoli a parte, per definire un punto bastano due rette. Tu devi aver scritto 2 o 3 pensando che il triangolo ha 3 lati, ma il terzo lato non è necessario per calcolare il circocentro, così come non è necessario per definire lo stesso triangolo. Se di un triangolo conosci due lati e il loro angolo automaticamente conosci anche il terzo lato, perché questo è determinato dagli altri due.

Ad esempio:

alfa = 25.842
a = 5
b = 4

c = sqrt( a^2 + (sin(alfa)^2 + cos(alfa)^2) * b^2 - 2 * cos(alfa) * a*b )

c = sqrt(5)

[nino280]

Certo è tutto vero quello che dici.
Però bisogna decidere cosa si conosce.
Nel senso che o conosci anche il terzo lato oppure conosci due lati e l'angolo compreso.
Si da il caso che in questo Quiz tu non conoscevi ne il terzo lato ne tantomeno l'angolo compreso.
Tu mi hai fatto un bel calcoletto molto espressivo ma l'angolo devi averlo preso da mio disegno.
O almeno suppongo.
Ciao

[astromauh]

Supponi bene, volevo solo mostrare un esempio di quanto detto sopra.

[aspesi]

aspesi

I triangoli ABD e BDE sono simili, per cui:
ED/BD = BD/AB
da cui:
ED = BD^2/AB =RADQ(5)^2/5 = 1

I triangoli EB e ADC sono simili, per cui:
AC/AD = AE/AB
e sostituendo:
4/(AE+1) = AE/5
20 = AE^2 + AE

AE = (-1+RADQ(1+80))/2 = (-1+9)/2 = 4

[aspesi]

Quanto vale la pendenza P2%?

N.B. Il disegno è VOLUTAMENTE ingannevole e NON è in scala.
Però i rettangoli sono tutti uguali e P1 è proprio il 50%.

[astromauh]

E' possibile che la pendenza di P2 sia addirittura minore di P1?

Dovrei rivedere i calcoli, perché magari ho sbagliato qualche passaggio,
ma credo P2 = 40%

Si, ho controllato, la soluzione è corretta.

Edit:

link alla soluzione

In effetti, come diceva Aspesi, le figure non sono in scala.

Questo quiz mi è stato utile, perché ho finalmente capito come interpretare i segnali stradali che indicano le pendenze, anche se credo che continuerò a valutare a vista la pendenza delle strade, piuttosto che facendo attenzione ai segnali.

[Erasmus]

aspesi

Quanto è lungo AE?
(pardon, A è il vertice in alto ):

aspesi

I triangoli ABD e BDE sono simili [...]

Come lo sai? Te l'ha suggerito lo Spirito Santo?
Dai: Fai una affermazione gratuita! Ancora non lo sai!

nino280

Beh, questo era facilissimo

Certo! Imboccando, però, la strada opportuna ... che non ci dici qual è stata per te.
[Suppongo che l'angolo "alfa" l'hai trovato con GeoGebra dopo averle chiesto di tracciare la bisettrice AD di CAB e, furbescamente, aver variato "alfa" fino a far risultare DC = √(5).]
-------------------------
Con riferimento alla figura, pongo (provvisoriamente) x = BD
Chiamo inoltre d la corda AD che divide il quadrilatero circoscritto ABDC nei due triangoli ABD e ADC.
Occhio! Per adeguarmi alle consuete convenzioni dico α/2 gli angoli che in figura sono indicati come α e quindi dico α l'angolo CAB (dove A èil vertice in alto estremo comune dei segmenti di lunghezza rispettiva 5 e 4).

Si sa che se S è l'area di un triangolo di lati (a, b, c) il raggio R del cerchio circoscritto è
R = abc/(4S)
L'area di ABD (vista sulla base d =AD) vale [5·sin(α/2)·d]/2.
L'area di ADC (vista sulla stessa base d) vale [4·sin(α/2)·d]/2.
Il cerchio circoscritto ai due triangoli è il medesimo e quindi, detto R il suo raggio, abbiamo:
R = (5·d·x)/[2·5·sin(α/2)·d] = [4·d·√(5)]/[2·4·sin(α/2)·d] ––>
––> R = x/[2·sin(α/2)]= √(5)/[2·sin(α/2)].
Dall'ultima uguaglianza si ha subito x = BD = √(5).
Sicché il triangolo BDC è isoscele sulla base BC .

[Il resto ... é lunghetto da fare; ma, dopo aver trovato il lato BD dapprima incognito, tutto il resto viene abbastanza facile di conseguenza.]

Calcolando cos(α/2) in entrambi i triangoli ABD e ADC e confrontando abbiamo
cos(α/2) = (25 + d^2 – 5)/(2·5·d) = (16 + d^2 – 5)/(2·4·d) ––>
––> (20 + d^2)/5 = (11+d^2)/4 <––> 25 = d^2 ––> d =AD =5.
[Allora ABD è isoscesle sulla base BD = √(5)]
Con ciò risulta
cos(α/2) = (25 +25 – 5)/(2·5·5) = 45/50 = 9/10 = 0,9 ––>
––> cos(α) = 2[cos(α/2)]^2 – 1 =31/50 =0,62;
BC^2 = 25+16 – 2·5·4·31/50 = 81/5 ––>
––> BC= 9/√(5) = (9/5)√(5).
Ora possiamo calcolare il coseno dell'angoli β = ABC trovando:
cos(β) = (25+81/5 – 16)/[2·5·9(√(5)] = (7/25)√(5)
e quindi
sin(β) = √(1–49/125) = 2√(19)/[5√(5)] = (2/25)√(95).

Per venir a conoscere l'angolo EBD , oserviamo che l'angolo ABD è complementare di α/4 [perché ABD è isoscele sulla base BD].
Perciò:
cos(EBD) = cos[(π/2–α/4) – β] = cos(π/2–α/4)·cos(β]+ sin(π/2–α/4)·sin(β] =
= sin(α/4)·cos(β]+ cos(α/4)·sin(β]= √[(1 – 9/10)/2]·7√(5)/25 + √[(1 + 9/10)/2]·2√(95)/25 =
= {1/[2√(5)]}·7√(5)/25 + {√(19)/[2√(5)]}·2√(19)/[5√(5)] = 7/50 +19/25 = 45/50 = 9/10.

Oh bella! Il triangolino BDE ha l'angolo in B ampio α/2 (dato che anche il suo coseno è 9/10) e quindi è simile al triangolo ABD (che è isoscele sulla base BD = √(5) ed ha gli altri due lati lunghi 5).
Sicché anche BDE è isoscele e quindi BE = √(5). Dato che i lati di BDE sono minori di quelli di ABD nel rapporto √(5), anche la base ED è minore di BD nello stesso rapporto, ossia è lunga 1
In conclusione:
ED = 1 ––> AE = AD – ED = 5 – 1 = 4.

Per completezza: essendo BC = 9/√(5) e BE = √(5) = 5/√(5), risulta EC= 4/√(5).

Riassumendo, i segmenti della figura hanno le seguenti lunghezze:
AD = AB = 5;
AE = AC = 4;
ED = 1;
BC = 9/√(5) = (9/5)√(5);
BE = √(5) = 5/√(5) ; EC = 4/√(5).
––––––