domanda sulla propagazione degli errori in una funzione periodica

[rigel80]

allora, la domanda è questa:

ho una funzione y = cos(K/x)

immaginiamo i graficarla in funzione di X, viene fuori una funzione oscillante con il periodo dell'oscillazione che aumenta costantemente (da un'oscillazione a quella successiva) con X

ora poniamo che io in questo grafico XY conosco i valori di Y con precisione infinita mentre i valori di x sono caratterizzati da un'incertezza dx

a questo punto immaginate di prendere i punti di questa funzione e graficarli non più in funzione di x ma in funzione di 1/x, ovvero l'ascissa avrà come valori 1/x e non più x

come conseguenza di ciò avremo rappresentata nel grafico una semplicissima funzione coseno

la mia domanda è:

se io prendo il periodo di questa funzione coseno qual'è la sua incertezza in termini di dx?

okkio che sembra più semplice di quello che è veramente

[Erasmus]

rigel80

allora, la domanda è questa:

ho una funzione y = cos(K/x)

immaginiamo i graficarla in funzione di X, viene fuori una funzione oscillante con il periodo dell'oscillazione che aumenta costantemente (da un'oscillazione a quella successiva) con X

ora poniamo che io in questo grafico XY conosco i valori di Y con precisione infinita mentre i valori di x sono caratterizzati da un'incertezza dx

a questo punto immaginate di prendere i punti di questa funzione e graficarli non più in funzione di x ma in funzione di 1/x, ovvero l'ascissa avrà come valori 1/x e non più x

come conseguenza di ciò avremo rappresentata nel grafico una semplicissima funzione coseno

la mia domanda è:

se io prendo il periodo di questa funzione coseno qual'è la sua incertezza in termini di dx?

okkio che sembra più semplice di quello che è veramente

Non so se ho ben capito cosa vuoi saper di preciso.

Dimmi se ho capito giusto.

Ho la funzione y =cos(k/x), dove k è un parametro costante e x è la variabile.
In coordinate cartesiane isomtriche (x, y) è l'equazione di un certo luogo che è la curva rappresentata dal grafico della funzione.
Se, nell'argomento k/x del coseno, al posto di essere al denominatore x fosse al numeratore, cioè se fosse y=cos(kx), la curva sarebbe una sinusoide [di pulsazione k, cioè di frequenza f = k/(2PI) e quindi di periodo T =2PI/k – aggiungo io!].
Invece, con x al denominatore ho una curva oscillante ma non periodica: al tendere di x a zero le oscillazioni si infittiscono e al crescere di x si rarefanno fino a che la curva, dopo l'ultimo volta che attraversa l'asse delle ascisse (per x = 2k/PI) da valori negativi a positivi, tende asintoticamente alla retta di equazione y =1.

[Vedi il grafico per k =PI(greco) nella figura allegata => cos(PI/x).PDF]

Ovviamente, se disegno il grafico non in scala naturale ma in scala dei reciproci riottengo la funzione sinusoidale (periodica) cos(kx)

Ora tu vuoi sapere qual è l'incertezza di un intervallo di ascissa tra due punti non consecutivi ma alterni di attraversamento della curva supponendo che x (di cui devi fare il reciproco) abbia una sua incertezza dx.

Ho capito giusto?

In generale se devi fare una trasformazuine del tipo x'=f(x), hai comunque dx' = df/dx * dx (dove con df/dx intendo la derivata di f(x) rispetto ad x).
Nel tuo caso, essendo x' = 1/x, avrai df/dx = –1/x^2 e quindi l'incertezza:
dx' = – dx/x^2.

Il segno "meno significa che se x è in eccesso, x' è in difetto (e vicevera).
Il denominatire x^2 sta a significare che l'incertezza assoluta di x' (a parità di incertezza asoluta di x al variare di x stesso) è tanto più grande quanto più piccolo è x stesso (e viceversa)


In effetti, supponi che X sia il valore nominale in un certo x e X+dx sia il valore estremo (per un errore che al massimo è dx, picccolo però rispetto ad X).
Allora al posto di 1/x hai 1/(X+dx) che, per dx minore di X, ti dà la serie convergente:
1/(X+dx) = (1/X)*1/(1+dx/X) = (1/X)*[1–(dx/X) + (dx/X)^2 – (dx/X)^3 + ...]

Se dx è molto piccolo rispetto ad X, puoi trascurare i termini dal secondo grado compreso in su:

1/(X + dx) = (1/X)*1/(1+dx/X) = circa (1/X)*[1–(dx/X))] = 1/X – dx/X^2.

[Per esempio, 1000/1001 = 1000/(1000 + 1)=1(1+0,001) vale circa 1– 0,001 = 0,999].

Vedi allora che se la variabile x è affetta dall'incertezza dx quando dovrebbe valere X, il reciproco 1/x, al posto valere il valore nominale 1/X è affetto dall'incertezza –dx/X^2

Osserva, però, che le incertezze relative (percentuali) sono le stesse (in valore assoluto; essendo di segno contrario sono in realtà una opposta dell'altra):

(–dx/X^2)/(1/X) = – dx/X.

Se per esempio conosci i numeri da "graficare" con 2 cifre esatte dopo la virgola, ossia hai una incertezza assoluta costante di un "più o meno mezzo centesimo di unità", nel grafico di cos(PI/x) hai una oscillazione completa tra x=1/6 = 0,1666... e x = 1/4 =0,250 [perché PI/(1/6) – PI/(1/4) = 6*PI – 4*PI = 2*PI]. Attorno a 0,25, per esempio, una incertezza assoluta 0,005 (mezzo centesimo) dà una incertezza relativa 2%.
L'incertezza assoluta del reciproco è 0,005/(0,25^2)=0,08, cioè 16 volte maggiore. Ma quella relativa è 0,08/(1/0,25) = 0,08/4 = 0,02 =2% (come prima).


Ciao, ciao.

[rigel80]

ok ti sei addrentrato nel problema e sei arrivato alla stessa mia soluzione, però la questione è un'pò più complessa di così:

il fatto è questo:

se io misuro la distanza tra due massimi della funzione coseno nel secondo grafico posso definirla come la differenza 1/x1 - 1/x2

l'incertezza su questo intervallo potrei definirla come (1/x1^2)*dx + (1/x2^2)dx

fin qui ci sono arivato anche io

il guaio si pone adesso:

perchè essendo la funzione coseno del secondo grafico periodica posso prendere una qualsiasi coppia di punti la cui distanza sia pari al periodo e avrò sempre una distanza tra i due punti pari al periodo della funzione coseno

però il valore di incertezza calcolato con la formula scritta sopra cambia e di molto a seconda se prendo due punti nella parte iniziale del secondo grafico (magari relativi alla prima oscillazione) oppure due punti relativi a una parte avanzata del grafico (relativi alla n-esima oscillazione)

la mia domanda è se esiste un modo per calcolare l'incertezza reale indipendentemente da dove prendo i punti, sospetto che non esista

[rigel80]

un altro modo per vedere la cosa è:

se invece di misurare il periodo dal secondo grafico il faccio la trasformata di fourier di quei punti otterro un grafico che presenta in ascissa la frequenza (v)della funzione coseno

quindi dovrei avere una delta di Dirac, ma questo solo se nel secondo grafico avessi una funzione coseno perfetta, nella realtà, per via delle indeterminazioni dx del primo grafico, nel secondo grafico avrò una funzione che approssima quella del coseno ma sarà in realtà una funzione somma di più armoniche di frequenze molto simili ma non tra loro identiche

di conseguenza nel terzo grafico (quello della trasformata) non avrò una delta di Dirac perfetta bensì una funzione molti piccata e stretta ma comunque di una larghezza dv
la domanda quindi potrebbe essere: qual'è la relazione che lega dv del terzo grafico con dx del primo grafico

[Mizarino]

rigel80

se io prendo il periodo di questa funzione coseno qual'è la sua incertezza in termini di dx?

Magari è una boiata, ma mi verrebbe di dire che è proporzionale all'errore relativo dx/x, ma non mi chiedere perché, perché ancora non mi sono capito io ...